Iste ideje danas su se ponovno, ničim izazvane, pojavile u sasvim običnom razgovoru za vrijeme uobičajene kave s uobičajenim društvom. Kao profesor matematike i informatike neskromno ću reći da sam u najmanju ruku solidno računalno potkovan, ili sam to barem bio, a i sada volim tako misliti, iako je vjerojatnije da me vrijeme poprilično pregazilo. Računalne godine ipak su kraće od pasjih godina. No kako god bilo, istovremeno ću se posuti pepelom i priznati kako sam izrazito skloniji matematici te usprkos vještinama korištenja računala moje poučavanje matematike uglavnom je temeljeno na starom kreda-ploča principu (spreman sam za drvlje i kamenje od strane kolega, roditelja...!), iako znam programirati u Wolfram Matematici, Matlabu, Geogebri i sl. Oduvijek sam smatrao da je ploča-kreda jedini ispravan način za poučavanje matematike, odnosno računa. Možda tome i jest tako, no Conrad Wolfram u svome predavanju doveo je u pitanje ne samo način poučavanja, već i suštinu onoga što se u matematici poučava.
Iznesene ideje toliko odskaču od ustaljenih normi, zvuče poput znanstvene fantastike, no zbog toga što ih nisam mogao odbaciti kao bezvezne bijah uzdrman u svojim matematičkim temeljima. Osjetio sam stanovito previranje jer usprkos otporu njegovim idejama, koji se po automatizmu uključio, osjećao sam kako to što čovjek govori ima smisla. Pogotovo ako se razmišlja u jednom puno širem vremenskom i civilizacijskom kontekstu usmjerenom na budućnost obrazovanja, ali i čovječanstva općenito. Stoga ću, uz poneki vlastiti komentar, pokušati što vjernije prenijeti poruke s tog predavanja ne bježeći od činjenice da je moj vlastiti doprinos ovim idejama nikakav, već da njihovim prenošenjem samo djelujem u duhu spomenute parole „Ideas worth spreading“. Dakle ne želim se kititi tuđim perjem, već smatram kako se zaista radi o idejama koje su zavrijedile da ih se razglasi.
U obrazovanju imamo velike probleme s matematikom. U osnovi nitko nije sretan. Oni koji je uče, dakle učenici, misle da je nepovezana, dosadna i teška. Fakulteti kao i oni koji zapošljavaju učenike smatraju da isti ne znaju dovoljno. Vlade smatraju da je matematika vrlo važna za gospodarstvo, ali ne znaju kako popraviti stvar (postoji korelacija između matematičke pismenosti i BDPa). A i nastavnici su frustrirani. Istovremeno, matematika je za svijet važnija sada nego u ijednom trenutku u ranijoj povijesti. Dakle s jedne strane imamo pad interesa za matematičkim obrazovanjem, a s druge strane imamo svijet prožet matematikom, svijet koji je kvantificiran više nego ikada prije. U čemu je problem. Što je stvorilo toliki jaz? I što možemo učiniti da bismo popravili situaciju?
Odgovor nam je pred nosom. Valjalo bi koristiti računala. Ispravno korištenje računala može pokrenuti interes za matematikom. Kako bih to pojasnio, pogledajmo najprije kako matematika izgleda u stvarnom svijetu i kako izgleda u obrazovanju. U stvarnom svijetu matematikom se ne bave nužno matematičari. Koriste je geolozi, inženjeri, biolozi i općenito svakakvi pojedinci. Modeliranje i simulacije su zapravo jako popularni. Ali u obrazovanju matematika izgleda bitno drugačije: okljaštreni problemi, puno računanja 'pješke', puno stvari koje samo naoko izgledaju jednostavno i čine se da lakšima nego u stvarnom svijetu. I zaista se čine takvima – osim u slučaju da ih morate učiti.
Upitajmo se zašto ljude poučavamo matematici? Koja je svrha poučavanja ljudi matematici? Posebno, zašto je matematika obvezan predmet? Postoje otprilike tri razloga:
1. Poslovi tehničke naravi koji su ključni za svako gospodarstvo
2. Svakodnevni život (da biste funkcionirali u svakodnevici morate biti prilično proračunati, danas puno više nego nekoliko godina ranije: morate znati izračunati svoje hipoteke i rate kredita, opravdati svoj skepticizam prema statističkim podacima koje objavljuje vlada...)
3. Logičko treniranje mozga, razvijanje logičkog razmišljanja. U poziciji smo da logičko razmišljanje prožima svaki segment ljudskog društva, a matematika je izvrstan način da se priuči logičkom razmišljanju.
Postavimo još jedno pitanje: što matematika jest? Što se točno misli pod frazom 'učim matematiku', odnosno 'ljude poučavam matematici'? Tu se radi o ugrubo četiri koraka:
1. Postavljanje pravih pitanja (što želimo pitati, što želimo saznati) – ovo je najzafrkanija stvar u stvarnom svijetu, gora od ostalih dijelova koji čine matematiku. Često ljudi postavljaju kriva pitanja i onda su iznenađeni kada dobiju krive odgovore. Najvažnije pitanje je: Koji problem iz stvarnog svijeta želimo riješiti?
2. Sljedeći korak je prevođenje tog problema realnog svijeta u matematički problem.
3. Nakon toga slijedi korak u kojem se obavlja računanje – rješavanje matematičkog problema na način da se dobiva rješenje u obliku matematičkog izraza. Matematika je tu bez premca najjača.
4. Na kraju dobiveno rješenje treba interpretirati u jeziku početnog problema. Interpretiraj odgovor u kontekstu stvarnog svijeta. Je li dobiven odgovor na postavljeno pitanje? Ključni dio je provjera dobivenih rješenja.
A sada evo lude činjenice: U poučavanju matematike (najmanje!) 80% vremena provodimo poučavajući treći korak, poučavamo ručno računanje. A to je jedini korak kojeg računala rade bolje od ljudi, čak iako su ti ljudi godinama vježbali. Uostalom i sam naziv – računalo – govori sve. Umjesto toga trebali bismo računala koristiti za obavljanje trećeg koraka i omogućiti učenicima da najveći napor ulože u svladavanje prvog, drugog i četvrtog koraka. Nastavnikova primarna zadaća treba postati navođenje učenika na konceptualiziranje problema i primjenjivanje tih koncepata na stvarnost kojom su okruženi.
Ključna je činjenica da matematika nije isto što i računanje. Matematika je daleko šira tema. Svima nam je jasno da su ta dva pojma, matematika i računanje, vrlo isprepletena. Stoljećima je jedini način za računanje bio uz pomoć papira i olovke. Ali u posljednjih nekoliko desetljeća to se potpuno promijenilo. Od svih tzv. starih znanstvenih disciplina, u matematici je došlo do najvećih promjena ikada, sve to zahvaljujući pojavi i razvoju računala. Uobičajeni ograničavajući faktor bilo je računanje, a sada najčešće nije. Na neki način može se reći da je matematika oslobođena od računanja. Ali to oslobođenje od računanja još nije ušlo u obrazovni sustav.
Na računanje bi trebalo gledati kao na matematičku mašineriju. To je zadaća, obveza koju biste najradije izbjegli ako je moguće, za koju biste voljeli da je obavi nekakav stroj. Računanje je sredstvo do cilja, a nikako cilj sam po sebi. Automatizacija nam omogućava da imamo takav stroj - računalo. I ovdje se ne radi o malom problemu. Procjenjuje se da tijekom jednog dana čitavo čovječanstvo provede 106 prosječnih ljudskih života poučavajući računanje olovkom i papirom. Pri tome većini uključenih to nije bilo ni malo zabavno. A radi se o velikoj količini ljudskog vremena. Zato bismo trebali biti sigurni znamo li zaista zašto to činimo, i ima li to pravu svrhu?
Možda bi računanje trebali prepustiti računalima, dok bi računanje papirom i olovkom trebalo poučavati samo kada to ima smisla. A takvi slučajevi postoje, npr: mentalna aritmetika (tj. računanje na pamet) koja je izrazito važna za stvaranje vlastitih procjena. Kada vam netko tvrdi da je nešto istina, možemo odvojiti trenutak kako bismo razmislili i sami donijeli procjenu tome. To je puno praktičnije činiti napamet nego koristeći računala. I upravo je praktičnost jedan (ne i jedini) razlog zbog kojeg treba poučavati računanje olovkom i papirom.
Danas tjeramo ljude da uče matematiku jer se radi o najvažnijem predmetu. A ni trenutka ne zastanemo kako bismo te ljude savjetovali da ukoliko nemaju interesa za računanjem uz pomoć papira i olovke, odnosno općenitije, ako imaju interesa za nekom temom, trebaju taj interes slijediti bez obzira koliko to nekome moglo činiti bizarnim. To je apsolutno njihovo pravo – slijediti vlastiti interes. Neki ljudi pokazuju veliki interes za antičkom Grčkom. Ali nema potrebe inzistirati na tome da čitavu populaciju treba poučavati antičkoj Grčkoj. Tako nešto jednostavno nema opravdanja u današnjem svijetu. Treba praviti razliku između onoga na što tjeramo ljude da čine i onoga što ljudi sami žele činiti, odnosno između sadržaja koji danas predstavljaju suštinu stvari i sadržaja koje ljudi prate iz vlastitog interesa. Ovdje se sada uvijeno, u rukavicama, tvrdi kako nema smisla one koji to ne žele godinama prisilno poučavati računanju uz pomoć papira i olovke, pogotovo ako njihovi budući interesi ni na koji način neće zahtijevati poznavanje takvog računa. Za nastavnika matematike poput mene ovo na prvu zvuči 'bogohulno', ali s vremenom i iskustvom sve manje je tako. Evo primjera: kako će poznavanje ručnog rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi pomoći čovjeku u ostvarenju njegovih glumačkih, sportskih, spisateljskih ili pravničkih ambicija? Ako već želimo pričati o rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi s takvom populacijom, onda se možemo poslužiti računalnom vizalizacijom i davanju odgovora na pitanja „Gdje (za koje brojeve) je graf iznad/ispod neke referentne vrijednosti?“ Što u konačnici omogućava razumijevanje kako se vizualno rješavaju nejednadžbe koristeći se grafovima funkcija, a njih računala crtaju kao od šale.
Koji problemi se najčešće navode vezano za ovakav pristup? Jedan od njih svakako jest izjava „najprije se trebaju usvojiti osnove“. Ne bi se smjelo koristiti računalo dok se ne usvoje osnove predmeta. Uobičajeni odgovor na ovo pitanje također bi moglo biti pitanje: „A što se točno smatra osnovama? Osnove čega?“ Jesu li osnove vožnje automobila naučiti kako ga servisirati? Ili ga možda dizajnirati? Jesu li osnove pisanja naučiti kako šiljiti olovku? Pa i ne baš. Potrebno je razdvojiti osnove onoga što želite postići od načina odnosno sredstva kojim se to postiže. Automatizacija vam pomaže u postizanju tog razdvajanja. Istina, ako ste željeli voziti automobil prije stotinu godina, zaista ste morali dosta toga znati o mehanici automobila. Ali automatizacija u automobilima omogućila je da se te dvije stvari potpuno odvoje. Znači vožnja automobilom postala je takoreći zaseban predmet od servisiranja automobila.
Na sličan način kao kod automobila, automatizacija bi mogla pridonijeti tzv. demokratizaciji matematike. Još jedna stvar kad smo kod osnova: mnogi ljudi su zbunjeni i brkaju redoslijed otkrivanja alata i naprava s redoslijedom u kojem bi te alate trebalo koristiti. Samo zato što je papir otkriven prije računala ne znači da će se osnove bolje usvojiti ako se poučavajući matematiku koristi papir umjesto računala. Danas djeca za igru u vrtićima izrađuju laptope od papira. Jedno dijete, na komentar svog roditelja kako u vrijeme kad je roditelj bio dijete nisu pravili laptope od papira, odgovorilo je pitanjem: „Zar tada niste imali papir?“!!!! Ili primjer mog vlastitog djeteta koje je s godinu i nešto dana, nakon što je već neko vrijeme uspješno 'čačkala' po ekranu osjetljivom na dodir, u susretu sa sličicom u nekom časopisu istu pokušala zoomirati na način na koji se to čini na pametnom telefonu (tzv. pinch zoom). Kad ste rođeni u vremenu u kojem imate i papir i računalo, svejedno je čime ćete poučavati matematiku dokle god koristite najbolji dostupan alat.
Drugi problem koji se spominje kod korištenja računala u matematici jest: „Računala poglupljuju matematiku, na način da koristeći računalo sve se svodi na klikanje po gumbima bez potrebe za razmišljanjem. A ako to činite pješke sve je intelektualno i misaono.“ Ovaj argument me pomalo i živcira. Zar zbilja vjerujemo da matematika koju većina ljudi radi u školama je nešto više od primjenjivanja postupaka na probleme koje zapravo ne razumiju iz razloga koje im se ne navodi? I da bude još gore, ono što i nauče danas, u praksi im više nije od koristi. Možda bi im bilo korisno prije pedeset godina, ali danas više nije. Kada izađu iz sustava obrazovanja, vjerujte, sve rade na računalima.
Računala, jednako kao i svaki drugi odličan alat, mogu se koristiti bez upotrebe mozga. Na primjer, moguće je sve svesti na multimedijalni zabavni događaj. Ili još gori primjer, gdje pri poučavanju rješavanja jednadžbi računala preuzmu ulogu učitelja i učenike uče kako 'pješke' riješiti jednadžbu – nije li to besmisleno? Zašto koristiti računalo za poučavanje učenika kako papirom i olovkom riješiti problem kojeg bi ionako trebalo rješavati računalom? Sve je to naopako.
Evo kako probleme možemo učiniti teškima u računskom smislu. U školi se uči kako riješiti kvadratnu jednadžbu, a koristeći računalo možete od kvadratne jednadžbe vrlo jednostavno načiniti jednadžbu četvrtog stupnja. Iako se primjenjuju isti matematički principi, računanje je bitno teže. A problemi u stvarnom svijetu zaista i jesu 'zločesti' i zastrašujući. Rutavi su, kako ja volim reći. Stvarni problemi nisu nimalo jednostavni poput okljaštrenih problema koje rješavamo u školskoj matematici. I razmislite o stvarnom svijetu! Zar zaista mislimo da su se tehničke znanosti, biologija, kemija i sve ostale stvari koje su toliko profitirale zbog računala i matematike, nekako reducirale zbog upotrebe računala? Mislim da se dogodilo upravo suprotno. Stvarni problem kojeg imamo u poučavanju matematike nije u tome što će matematika otupaviti upotrebom računala, već u tome što sada bez računala rješavamo nerealne (priglupe) probleme.
Još jedan problem kojeg se navodi jest da postupci računanja papirom i olovkom vode razumijevanju. U smislu da ako se prođe puno primjera bolje će se razumjeti kako funkcioniraju osnove čitavog tog sustava. Ovdje postoji jedna valjana činjenica: razumijevanje principa i postupaka zaista jest važno. Ali u našem modernom svijetu postoji fantastičan način da se to postigne. Taj način se zove programiranje. Većina procesa i postupaka danas se zapisuje programiranjem, ne na papiru kao u nekakvoj knjizi recepata. I to je odličan način da se učenici još više uključe i na takav način se provjeri razumiju li oni zaista. Želite li vidjeti koliko razumijete matematiku probajte je isprogramirati. Dakle programiranje je način na koji se danas može postići i provjeriti razumijevanje.
Imamo jedinstvenu priliku učiniti matematiku istovremeno i praktičnijom i konceptualnijom. Ne mogu se sjetiti ni jednog predmeta u kojem je to odnedavno moguće. Uvijek se tu radilo o suprotstavljenim stranama, praktičnost protiv konceptualnosti, manufakturnost protiv intelektualnosti. A ovdje ispada da možemo imati oboje istovremeno. Otvara se ogroman broj mogućnosti, možemo se uhvatiti u koštac sa puno više problema. Učenici mogu u puno većoj mjeri nego ikada ranije stjecati istovremeno i intuiciju i iskustvo. Mogu iskusiti bitno složenije probleme. Mogu se igrati s matematikom koja postaje interaktivna. Mogu je osjetiti. I želimo da učenici matematiku osjete svojim instinktom. To je ono što nam računala omogućavaju.
Još je jedna stvar koju bi nam računala omogućila – preslagivanje kurikuluma. Tradicionalno je kurikulum ustrojen prema težini potrebnog računa. A danas bi kurikulum mogli ustrojiti prema tome koliko je teško usvojiti koncept, neovisno o tome koliko bi računanje bilo teško. Tradicionalno se diferencijalni račun uči relativno kasno. Zašto? Jer je računanje prilično teško. Ali zapravo mnogi koncepti su smisleni čak i puno mlađoj dobnoj skupini. Na primjer: što se dogodi kada se broj stranica pravilnog mnogokuta poveća na jako veliki broj? Možete vidjeti da je ovo vrlo rani korak u limes i diferencijalni račun, a to je ono što imate kada stvari odvedete do ekstrema (neizmjerivo veliki broj neizmjerivo malenih stranica mnogokuta). Naravno ovo je vrlo jednostavan primjer. Ali to je pogled na svijet koji ljudima ne nudimo dok ne dođu u jednu zreliju dob. Iako je to jedan vrlo važan praktični pogled na svijet. Ovo sam čak svojedobno i provjerio sa svojom kćeri, gdje promatrajući animaciju mnogokuta kojem se povećava broj stranica, na upit što vidi, već kod dvanaesterokuta pobjedonosno uzviknula: „Pa tata to je krug!“. Važno je pri tome spomenuti da je tada imala svega tri i pol godine!! Dakle, i malom djetetu je intuitivno jasno što se tu događa iako, žargonski rečeno, „nema pojma o životu“.
Jedna od prepreka u promicanju ove ideje jesu ispiti, odnosno provjere znanja. Ako na kraju sve provjeravamo isključivo na principu papir-olovka teško je za očekivati promjene kurikuluma koje bi rezultirale korištenjem računala tijekom obrazovanja. Znači da bi bilo potrebno uvesti računala u provjeru znanja. E, tek tada bi mogli postavljati prava pitanja! Pitanja poput: „Koja je najbolja polica životnog osiguranja?“, „Je li isplativo uzeti kredit za financiranje određenog poslovnog poduhvata?“ Stvarna pitanja koja ljudi imaju u svakodnevnom životu.
Očito je da se ovdje ne radi o suptilnoj promjeni evolucijskog tipa već o velikom skoku naprijed kojim se želi preskočiti jaz između školske matematike i matematike realnog svijeta u kojem živimo. Radi se o potpuno novom kurikulumu, nanovo izgrađenom od nule i utemeljenog na činjenici da su računala ovdje i da ih je nemoguće izbjeći. Računalni strojevi su posvuda, odnosno bit će zaista posvuda u punom značenju te riječi za svega nekoliko godina od sad. Upitno je bi li trebalo takav predmet zvati matematikom, ali nije upitno da će se raditi o najvažnijem predmetu budućnosti. Kako ga uvesti kod nas? Njegova implementacija je ono što mene kopka od kad sam prvi put čuo za gore iznesenu argumentaciju. Spomenuti predmet mogao bi se poučavati pored postojeće matematike, za početak i fakultativno, npr. već u završnim razredima srednjih škola, a pogotovo na fakultetima.
Profesorima koji bi prihvatili računalo kao alat u poučavanju matematike najveći izazov postao bi kako naučiti učenike da budu pažljivi kada odluče razmjenjivati kompleksnost za točnost, naučiti ih da prepoznaju što to trebaju znati, pronaći, izračunati i na kraju provjeriti. Ukratko, naučiti ih da misle, a ne kako provoditi određene postupke.
A možda još važnije, kroz zanimljive i izazovne zadatke, moramo učenicima/studentima usaditi samopouzdanje u radu s problemima koji nemaju uvijek samo lijepe, kratke, umjetne odgovore, nego i 'ružne' odgovore, koji dozvoljavaju alternativne pristupe rješavanju, ali i onim problemima za koje do sada nitko ne zna rješenje – baš kao što je to slučaj s problemima s kojima će se susretati u stvarnom svijetu.
Iznesene ideje toliko odskaču od ustaljenih normi, zvuče poput znanstvene fantastike, no zbog toga što ih nisam mogao odbaciti kao bezvezne bijah uzdrman u svojim matematičkim temeljima. Osjetio sam stanovito previranje jer usprkos otporu njegovim idejama, koji se po automatizmu uključio, osjećao sam kako to što čovjek govori ima smisla. Pogotovo ako se razmišlja u jednom puno širem vremenskom i civilizacijskom kontekstu usmjerenom na budućnost obrazovanja, ali i čovječanstva općenito. Stoga ću, uz poneki vlastiti komentar, pokušati što vjernije prenijeti poruke s tog predavanja ne bježeći od činjenice da je moj vlastiti doprinos ovim idejama nikakav, već da njihovim prenošenjem samo djelujem u duhu spomenute parole „Ideas worth spreading“. Dakle ne želim se kititi tuđim perjem, već smatram kako se zaista radi o idejama koje su zavrijedile da ih se razglasi.
U obrazovanju imamo velike probleme s matematikom. U osnovi nitko nije sretan. Oni koji je uče, dakle učenici, misle da je nepovezana, dosadna i teška. Fakulteti kao i oni koji zapošljavaju učenike smatraju da isti ne znaju dovoljno. Vlade smatraju da je matematika vrlo važna za gospodarstvo, ali ne znaju kako popraviti stvar (postoji korelacija između matematičke pismenosti i BDPa). A i nastavnici su frustrirani. Istovremeno, matematika je za svijet važnija sada nego u ijednom trenutku u ranijoj povijesti. Dakle s jedne strane imamo pad interesa za matematičkim obrazovanjem, a s druge strane imamo svijet prožet matematikom, svijet koji je kvantificiran više nego ikada prije. U čemu je problem. Što je stvorilo toliki jaz? I što možemo učiniti da bismo popravili situaciju?
Odgovor nam je pred nosom. Valjalo bi koristiti računala. Ispravno korištenje računala može pokrenuti interes za matematikom. Kako bih to pojasnio, pogledajmo najprije kako matematika izgleda u stvarnom svijetu i kako izgleda u obrazovanju. U stvarnom svijetu matematikom se ne bave nužno matematičari. Koriste je geolozi, inženjeri, biolozi i općenito svakakvi pojedinci. Modeliranje i simulacije su zapravo jako popularni. Ali u obrazovanju matematika izgleda bitno drugačije: okljaštreni problemi, puno računanja 'pješke', puno stvari koje samo naoko izgledaju jednostavno i čine se da lakšima nego u stvarnom svijetu. I zaista se čine takvima – osim u slučaju da ih morate učiti.
Upitajmo se zašto ljude poučavamo matematici? Koja je svrha poučavanja ljudi matematici? Posebno, zašto je matematika obvezan predmet? Postoje otprilike tri razloga:
1. Poslovi tehničke naravi koji su ključni za svako gospodarstvo
2. Svakodnevni život (da biste funkcionirali u svakodnevici morate biti prilično proračunati, danas puno više nego nekoliko godina ranije: morate znati izračunati svoje hipoteke i rate kredita, opravdati svoj skepticizam prema statističkim podacima koje objavljuje vlada...)
3. Logičko treniranje mozga, razvijanje logičkog razmišljanja. U poziciji smo da logičko razmišljanje prožima svaki segment ljudskog društva, a matematika je izvrstan način da se priuči logičkom razmišljanju.
Postavimo još jedno pitanje: što matematika jest? Što se točno misli pod frazom 'učim matematiku', odnosno 'ljude poučavam matematici'? Tu se radi o ugrubo četiri koraka:
1. Postavljanje pravih pitanja (što želimo pitati, što želimo saznati) – ovo je najzafrkanija stvar u stvarnom svijetu, gora od ostalih dijelova koji čine matematiku. Često ljudi postavljaju kriva pitanja i onda su iznenađeni kada dobiju krive odgovore. Najvažnije pitanje je: Koji problem iz stvarnog svijeta želimo riješiti?
2. Sljedeći korak je prevođenje tog problema realnog svijeta u matematički problem.
3. Nakon toga slijedi korak u kojem se obavlja računanje – rješavanje matematičkog problema na način da se dobiva rješenje u obliku matematičkog izraza. Matematika je tu bez premca najjača.
4. Na kraju dobiveno rješenje treba interpretirati u jeziku početnog problema. Interpretiraj odgovor u kontekstu stvarnog svijeta. Je li dobiven odgovor na postavljeno pitanje? Ključni dio je provjera dobivenih rješenja.
A sada evo lude činjenice: U poučavanju matematike (najmanje!) 80% vremena provodimo poučavajući treći korak, poučavamo ručno računanje. A to je jedini korak kojeg računala rade bolje od ljudi, čak iako su ti ljudi godinama vježbali. Uostalom i sam naziv – računalo – govori sve. Umjesto toga trebali bismo računala koristiti za obavljanje trećeg koraka i omogućiti učenicima da najveći napor ulože u svladavanje prvog, drugog i četvrtog koraka. Nastavnikova primarna zadaća treba postati navođenje učenika na konceptualiziranje problema i primjenjivanje tih koncepata na stvarnost kojom su okruženi.
Ključna je činjenica da matematika nije isto što i računanje. Matematika je daleko šira tema. Svima nam je jasno da su ta dva pojma, matematika i računanje, vrlo isprepletena. Stoljećima je jedini način za računanje bio uz pomoć papira i olovke. Ali u posljednjih nekoliko desetljeća to se potpuno promijenilo. Od svih tzv. starih znanstvenih disciplina, u matematici je došlo do najvećih promjena ikada, sve to zahvaljujući pojavi i razvoju računala. Uobičajeni ograničavajući faktor bilo je računanje, a sada najčešće nije. Na neki način može se reći da je matematika oslobođena od računanja. Ali to oslobođenje od računanja još nije ušlo u obrazovni sustav.
Na računanje bi trebalo gledati kao na matematičku mašineriju. To je zadaća, obveza koju biste najradije izbjegli ako je moguće, za koju biste voljeli da je obavi nekakav stroj. Računanje je sredstvo do cilja, a nikako cilj sam po sebi. Automatizacija nam omogućava da imamo takav stroj - računalo. I ovdje se ne radi o malom problemu. Procjenjuje se da tijekom jednog dana čitavo čovječanstvo provede 106 prosječnih ljudskih života poučavajući računanje olovkom i papirom. Pri tome većini uključenih to nije bilo ni malo zabavno. A radi se o velikoj količini ljudskog vremena. Zato bismo trebali biti sigurni znamo li zaista zašto to činimo, i ima li to pravu svrhu?
Možda bi računanje trebali prepustiti računalima, dok bi računanje papirom i olovkom trebalo poučavati samo kada to ima smisla. A takvi slučajevi postoje, npr: mentalna aritmetika (tj. računanje na pamet) koja je izrazito važna za stvaranje vlastitih procjena. Kada vam netko tvrdi da je nešto istina, možemo odvojiti trenutak kako bismo razmislili i sami donijeli procjenu tome. To je puno praktičnije činiti napamet nego koristeći računala. I upravo je praktičnost jedan (ne i jedini) razlog zbog kojeg treba poučavati računanje olovkom i papirom.
Danas tjeramo ljude da uče matematiku jer se radi o najvažnijem predmetu. A ni trenutka ne zastanemo kako bismo te ljude savjetovali da ukoliko nemaju interesa za računanjem uz pomoć papira i olovke, odnosno općenitije, ako imaju interesa za nekom temom, trebaju taj interes slijediti bez obzira koliko to nekome moglo činiti bizarnim. To je apsolutno njihovo pravo – slijediti vlastiti interes. Neki ljudi pokazuju veliki interes za antičkom Grčkom. Ali nema potrebe inzistirati na tome da čitavu populaciju treba poučavati antičkoj Grčkoj. Tako nešto jednostavno nema opravdanja u današnjem svijetu. Treba praviti razliku između onoga na što tjeramo ljude da čine i onoga što ljudi sami žele činiti, odnosno između sadržaja koji danas predstavljaju suštinu stvari i sadržaja koje ljudi prate iz vlastitog interesa. Ovdje se sada uvijeno, u rukavicama, tvrdi kako nema smisla one koji to ne žele godinama prisilno poučavati računanju uz pomoć papira i olovke, pogotovo ako njihovi budući interesi ni na koji način neće zahtijevati poznavanje takvog računa. Za nastavnika matematike poput mene ovo na prvu zvuči 'bogohulno', ali s vremenom i iskustvom sve manje je tako. Evo primjera: kako će poznavanje ručnog rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi pomoći čovjeku u ostvarenju njegovih glumačkih, sportskih, spisateljskih ili pravničkih ambicija? Ako već želimo pričati o rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi s takvom populacijom, onda se možemo poslužiti računalnom vizalizacijom i davanju odgovora na pitanja „Gdje (za koje brojeve) je graf iznad/ispod neke referentne vrijednosti?“ Što u konačnici omogućava razumijevanje kako se vizualno rješavaju nejednadžbe koristeći se grafovima funkcija, a njih računala crtaju kao od šale.
Koji problemi se najčešće navode vezano za ovakav pristup? Jedan od njih svakako jest izjava „najprije se trebaju usvojiti osnove“. Ne bi se smjelo koristiti računalo dok se ne usvoje osnove predmeta. Uobičajeni odgovor na ovo pitanje također bi moglo biti pitanje: „A što se točno smatra osnovama? Osnove čega?“ Jesu li osnove vožnje automobila naučiti kako ga servisirati? Ili ga možda dizajnirati? Jesu li osnove pisanja naučiti kako šiljiti olovku? Pa i ne baš. Potrebno je razdvojiti osnove onoga što želite postići od načina odnosno sredstva kojim se to postiže. Automatizacija vam pomaže u postizanju tog razdvajanja. Istina, ako ste željeli voziti automobil prije stotinu godina, zaista ste morali dosta toga znati o mehanici automobila. Ali automatizacija u automobilima omogućila je da se te dvije stvari potpuno odvoje. Znači vožnja automobilom postala je takoreći zaseban predmet od servisiranja automobila.
Na sličan način kao kod automobila, automatizacija bi mogla pridonijeti tzv. demokratizaciji matematike. Još jedna stvar kad smo kod osnova: mnogi ljudi su zbunjeni i brkaju redoslijed otkrivanja alata i naprava s redoslijedom u kojem bi te alate trebalo koristiti. Samo zato što je papir otkriven prije računala ne znači da će se osnove bolje usvojiti ako se poučavajući matematiku koristi papir umjesto računala. Danas djeca za igru u vrtićima izrađuju laptope od papira. Jedno dijete, na komentar svog roditelja kako u vrijeme kad je roditelj bio dijete nisu pravili laptope od papira, odgovorilo je pitanjem: „Zar tada niste imali papir?“!!!! Ili primjer mog vlastitog djeteta koje je s godinu i nešto dana, nakon što je već neko vrijeme uspješno 'čačkala' po ekranu osjetljivom na dodir, u susretu sa sličicom u nekom časopisu istu pokušala zoomirati na način na koji se to čini na pametnom telefonu (tzv. pinch zoom). Kad ste rođeni u vremenu u kojem imate i papir i računalo, svejedno je čime ćete poučavati matematiku dokle god koristite najbolji dostupan alat.
Drugi problem koji se spominje kod korištenja računala u matematici jest: „Računala poglupljuju matematiku, na način da koristeći računalo sve se svodi na klikanje po gumbima bez potrebe za razmišljanjem. A ako to činite pješke sve je intelektualno i misaono.“ Ovaj argument me pomalo i živcira. Zar zbilja vjerujemo da matematika koju većina ljudi radi u školama je nešto više od primjenjivanja postupaka na probleme koje zapravo ne razumiju iz razloga koje im se ne navodi? I da bude još gore, ono što i nauče danas, u praksi im više nije od koristi. Možda bi im bilo korisno prije pedeset godina, ali danas više nije. Kada izađu iz sustava obrazovanja, vjerujte, sve rade na računalima.
Računala, jednako kao i svaki drugi odličan alat, mogu se koristiti bez upotrebe mozga. Na primjer, moguće je sve svesti na multimedijalni zabavni događaj. Ili još gori primjer, gdje pri poučavanju rješavanja jednadžbi računala preuzmu ulogu učitelja i učenike uče kako 'pješke' riješiti jednadžbu – nije li to besmisleno? Zašto koristiti računalo za poučavanje učenika kako papirom i olovkom riješiti problem kojeg bi ionako trebalo rješavati računalom? Sve je to naopako.
Evo kako probleme možemo učiniti teškima u računskom smislu. U školi se uči kako riješiti kvadratnu jednadžbu, a koristeći računalo možete od kvadratne jednadžbe vrlo jednostavno načiniti jednadžbu četvrtog stupnja. Iako se primjenjuju isti matematički principi, računanje je bitno teže. A problemi u stvarnom svijetu zaista i jesu 'zločesti' i zastrašujući. Rutavi su, kako ja volim reći. Stvarni problemi nisu nimalo jednostavni poput okljaštrenih problema koje rješavamo u školskoj matematici. I razmislite o stvarnom svijetu! Zar zaista mislimo da su se tehničke znanosti, biologija, kemija i sve ostale stvari koje su toliko profitirale zbog računala i matematike, nekako reducirale zbog upotrebe računala? Mislim da se dogodilo upravo suprotno. Stvarni problem kojeg imamo u poučavanju matematike nije u tome što će matematika otupaviti upotrebom računala, već u tome što sada bez računala rješavamo nerealne (priglupe) probleme.
Još jedan problem kojeg se navodi jest da postupci računanja papirom i olovkom vode razumijevanju. U smislu da ako se prođe puno primjera bolje će se razumjeti kako funkcioniraju osnove čitavog tog sustava. Ovdje postoji jedna valjana činjenica: razumijevanje principa i postupaka zaista jest važno. Ali u našem modernom svijetu postoji fantastičan način da se to postigne. Taj način se zove programiranje. Većina procesa i postupaka danas se zapisuje programiranjem, ne na papiru kao u nekakvoj knjizi recepata. I to je odličan način da se učenici još više uključe i na takav način se provjeri razumiju li oni zaista. Želite li vidjeti koliko razumijete matematiku probajte je isprogramirati. Dakle programiranje je način na koji se danas može postići i provjeriti razumijevanje.
Imamo jedinstvenu priliku učiniti matematiku istovremeno i praktičnijom i konceptualnijom. Ne mogu se sjetiti ni jednog predmeta u kojem je to odnedavno moguće. Uvijek se tu radilo o suprotstavljenim stranama, praktičnost protiv konceptualnosti, manufakturnost protiv intelektualnosti. A ovdje ispada da možemo imati oboje istovremeno. Otvara se ogroman broj mogućnosti, možemo se uhvatiti u koštac sa puno više problema. Učenici mogu u puno većoj mjeri nego ikada ranije stjecati istovremeno i intuiciju i iskustvo. Mogu iskusiti bitno složenije probleme. Mogu se igrati s matematikom koja postaje interaktivna. Mogu je osjetiti. I želimo da učenici matematiku osjete svojim instinktom. To je ono što nam računala omogućavaju.
Još je jedna stvar koju bi nam računala omogućila – preslagivanje kurikuluma. Tradicionalno je kurikulum ustrojen prema težini potrebnog računa. A danas bi kurikulum mogli ustrojiti prema tome koliko je teško usvojiti koncept, neovisno o tome koliko bi računanje bilo teško. Tradicionalno se diferencijalni račun uči relativno kasno. Zašto? Jer je računanje prilično teško. Ali zapravo mnogi koncepti su smisleni čak i puno mlađoj dobnoj skupini. Na primjer: što se dogodi kada se broj stranica pravilnog mnogokuta poveća na jako veliki broj? Možete vidjeti da je ovo vrlo rani korak u limes i diferencijalni račun, a to je ono što imate kada stvari odvedete do ekstrema (neizmjerivo veliki broj neizmjerivo malenih stranica mnogokuta). Naravno ovo je vrlo jednostavan primjer. Ali to je pogled na svijet koji ljudima ne nudimo dok ne dođu u jednu zreliju dob. Iako je to jedan vrlo važan praktični pogled na svijet. Ovo sam čak svojedobno i provjerio sa svojom kćeri, gdje promatrajući animaciju mnogokuta kojem se povećava broj stranica, na upit što vidi, već kod dvanaesterokuta pobjedonosno uzviknula: „Pa tata to je krug!“. Važno je pri tome spomenuti da je tada imala svega tri i pol godine!! Dakle, i malom djetetu je intuitivno jasno što se tu događa iako, žargonski rečeno, „nema pojma o životu“.
Jedna od prepreka u promicanju ove ideje jesu ispiti, odnosno provjere znanja. Ako na kraju sve provjeravamo isključivo na principu papir-olovka teško je za očekivati promjene kurikuluma koje bi rezultirale korištenjem računala tijekom obrazovanja. Znači da bi bilo potrebno uvesti računala u provjeru znanja. E, tek tada bi mogli postavljati prava pitanja! Pitanja poput: „Koja je najbolja polica životnog osiguranja?“, „Je li isplativo uzeti kredit za financiranje određenog poslovnog poduhvata?“ Stvarna pitanja koja ljudi imaju u svakodnevnom životu.
Očito je da se ovdje ne radi o suptilnoj promjeni evolucijskog tipa već o velikom skoku naprijed kojim se želi preskočiti jaz između školske matematike i matematike realnog svijeta u kojem živimo. Radi se o potpuno novom kurikulumu, nanovo izgrađenom od nule i utemeljenog na činjenici da su računala ovdje i da ih je nemoguće izbjeći. Računalni strojevi su posvuda, odnosno bit će zaista posvuda u punom značenju te riječi za svega nekoliko godina od sad. Upitno je bi li trebalo takav predmet zvati matematikom, ali nije upitno da će se raditi o najvažnijem predmetu budućnosti. Kako ga uvesti kod nas? Njegova implementacija je ono što mene kopka od kad sam prvi put čuo za gore iznesenu argumentaciju. Spomenuti predmet mogao bi se poučavati pored postojeće matematike, za početak i fakultativno, npr. već u završnim razredima srednjih škola, a pogotovo na fakultetima.
Profesorima koji bi prihvatili računalo kao alat u poučavanju matematike najveći izazov postao bi kako naučiti učenike da budu pažljivi kada odluče razmjenjivati kompleksnost za točnost, naučiti ih da prepoznaju što to trebaju znati, pronaći, izračunati i na kraju provjeriti. Ukratko, naučiti ih da misle, a ne kako provoditi određene postupke.
A možda još važnije, kroz zanimljive i izazovne zadatke, moramo učenicima/studentima usaditi samopouzdanje u radu s problemima koji nemaju uvijek samo lijepe, kratke, umjetne odgovore, nego i 'ružne' odgovore, koji dozvoljavaju alternativne pristupe rješavanju, ali i onim problemima za koje do sada nitko ne zna rješenje – baš kao što je to slučaj s problemima s kojima će se susretati u stvarnom svijetu.
